Sistem Pengelompokan Bilangan
Berbagi Ilmu - Kalkulus
.png)
Dasar dari ilmu kalkulus adalah system bilangan, terutama bilangan real dan sifat-sifatnya. Karena menjadi sebuah dasar pengoperasian dalam ilmu kalkulus, maka mempelajari sistem pengelompokan bilangan dan bilangan real ini menjadi sangat penting. Dalam kalkulus, kita bermain dalam ranah bilangan real untuk melakukan sebuah operasi seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, hingga ke operasi lanjut seperti integral, turunan, dan lain-lain. Lalu apa yang dimaksud dengan bilangan real ini dan sistem pengelompokan bilangan? Jadi dalam pembahasan kali ini akan kita bahas terlebih dahulu mengenai sistem pengelompokan bilangan.
1. Bilangan Asli (natural number)
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendapati tumpukan buku, beberapa kardus, beberapa roti. Dalam melakukan perhitungan untuk menghitung jumlah benda-benda tersebut, misalnya terdapat 7 buku, 3 kardus, dan 4 roti, kita menggunakan bilangan asli. Bilangan asli adalah bilangan paling sederhana yang terdiri dari 1,2,3,4,5,6,7, …. dst.
2. Bilangan Bulat (integer)
Namun apakah cukup kita hanya menggunakan bilangan asli dalam melakukan operasi yang lainnya? Misalnya melakukan pengurangan? Jika kita melakukan operasi pengurangan yaitu 1 – 7 maka hal tersebut tidak mempunyai jawab di bilangan asli. Dalam melakukan operasi tersebut, maka diperlukan bilangan negatif, karena hasil operasinya bernilai negatif, sehingga dari sinilah muncul bilangan yang disebut bilangan bulat. Bilangan bulat adalah bilangan yang menggabungkan bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Terdiri dari bilangan:
…., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …..
3. Bilangan Rasional ()
Ketika kita melakukan operasi seperti penjumlahan dan pengurangan, memang solusinya dapat kita temukan dalam bilangan bulat. Akan tetapi, jika kita melakukan operasi seperti perkalian dan pembagian, hasilnya tidak selalu memiliki solusi di bilangan bulat ini, misalnya kita melakukan operasi pembagian 1 dengan 5 yaitu 1/5 hasilnya tidak mempunyai solusi di bilangan bulat.
Karena jarak antara bilangan bulat yang satu dengan yang lainnya sangatlah renggang, sehingga kita memerlukan bilangan untuk melakukan perhitungan secara akurat, sehingga muncullah bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n, dengan m dan n bilangan bulat serta n ≠ 0. Mengapa syarat bilangan rasional tidak boleh dibagi dengan nol? Karena pembagian dengan nol ini sangatlah rumit untuk dipecahkan atau mustahil untuk memahami pembagian ini, sehingga kita tidak diperbolehkan membagi dengan nol.
4. Bilangan Irasional (bukan rasional)
Jika kita melakukan operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian hasilnya atau solusinya akan selalu ada di bilangan rasional. Meskipun demikian, apakah bilangan rasional ini sudah mencakup semuanya atau bilangan rasional ini sudah cukup untuk keperluan perhitungan? Jawabannya tidak.
Jika kita melakukan pengukuran panjang sisi miring pada sebuah segitiga kita tidak selalu bisa menemukan nilai yang tepat di bilangan rasional. Fakta menarik ini ditemukan oleh orang Yunani kuno pada sekitar abad kelima sebelum Masehi. Pada peristiwa tersebut ditemukan nilai yang merupakan panjang sisi miring dari sebuah segitiga sama kaki dengan panjang sisi siku-siku 1, bukanlah bilangan rasional, karena bilangan tersebut tidak bisa dituliskan dalam bentuk m/n atau hasil bagi dari dua bilangan bulat. Dengan temuan ini menunjukkan bahwa ada bilangan lain yang belum tercakup dalam bilangan rasional di atas. Bilangan ini adalah bilangan irasional.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk hasil bagi dari dua bilangan bulat atau m/n. Misalnya seperti:
5. Bilangan Real
Ketika mempelajari ilmu kalkulus, bilangan real adalah yang menjadi dasarnya. Bilangan real adalah gabungan bilangan rasional dan irasional, yang berarti hampir seluruh operasi perhitungan hasilnya atau solusinya terdapat dalam bilangan real. Bilangan ini mencakup semua bilangan (rasional dan irasional) yang dapat mengukur besaran panjang, beserta bilangan negatif dan nol.
6. Bilangan Imajiner (imaginary number)
Dalam sistem bilangan, bilangan real yang sudah sangat luas dan hampir mencangkup seluruh bilangan masih dapat diperluas lagi. Bilangan yang diluar bilangan real adalah bilangan imajiner. Bilangan imajiner adalah bilangan yang dapat didefinisikan dengan x² = -1, dengan i adalah simbol dari bilangan imajiner.
Nilai imajiner biasa digunakan dalam ilmu teknik seperti teknik elektro dan ilmu fisika. Nilai bilangan imajiner dapat kita peroleh melalui persamaan berikut:
Secara numerik, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut atau yang bernilai
, Sehingga simbol i digunakan dalam mendefinisikan bilangan imajiner tersebut.
7. Bilangan Kompleks
Sistem bilangan kompleks merupakan semesta dari bilangan atau bilangan kompleks adalah himpunan dari seluruh bilangan yang ada. Sistem bilangan ini berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan real dan
Sistem bilangan ini adalah dasar dari ilmu kalkulus, karena ilmu kalkulus berbasis bilangan, maka mempelajari sistem bilangan dan sifat-sifatnya ini sangat penting. Pada dasarnya bilangan yang paling sering digunakan di ilmu kalkulus adalah bilangan real, tetapi tidak salah jika kitab isa mempelajari sistem bilangan yang lebih luas lagi.
0 Komentar